Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales

Es una tontería decir que nada es permanente salvo el cambio; y el objetivo primordial de las ecuaciones diferenciales es servir de instrumento para estudiar los cambios en el mundo físico. Un libro de carácter general sobre el tema, sin una exposición adecuada de sus aplicaciones científicas, sería, en conseciencia, tan estéril como un tratado sobre los huevos que no mencionara sus fines reproductores.

Estas aplicaciones incluyen:
El problema de la braquistócrona.
La fórmula de Einstein E=mc^2.
La ley de gravitación de Newton.
La ecuación de ondas para la cuerda vibrante.
El oscilador armónico en mecánica cuántica.
La teoría del potencial.
La ecuación de ondas para la membrana vibrante.
Las ecuaciones predador-presa.
La mecánica no lineal.
El principio de Hamilton.
El problema mecánico de Abel.

El lugar de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas

El análisis ha sido la rama dominante de las matemáticas durante 300 años, y las ecuaciones diferenciales están en el corazón del análisis. Constituyen el objetivo natural del cálculo elemental y la parcela matemática más importante para la comprensión de las ciencias físicas. Es fuente, además, en las cuestiones más profundas que suscita, de la mayoría de las ideas y teorías que conforman el análisis avanzado. Series de potencias, series de Fourier, función gamma y otras funciones especiales, ecuaciones integrales, teoremas de existencia, necesidad de justificación rigurosa de muchos procesos analíticos; todos estos temas aparecerán en nuestro camino en su contexto más natural. Y en una etapa posterior proporcionan la principal motivación que subyace al análisis complejo, a la teoría de series de Fourier y otros desarrollos ortogonales más generales; a la integración de Lebesgue, a los espacios métricos y de Hilbert, y a un sinfín de otras materias de gran belleza en la matemática moderna. Puedo alegar, a título de ejemplo, que una de las ideas principales del análisis complejo consiste en liberar a las series de potencias del ámbito restrictivo del sistema de los números reales, algo que entenderán mejor quienes hayan intentado utilizar series de potencias reales para resolver ecuaciones diferenciales. En botánica resulta obvio que nadie puede apreciar del todo los capullos de las plantas en floración sin un conocimiento razonable de las raíces, tallos y hojas que los nutren y soportan. El mismo principio es válido en matemáticas, pero se desprecia o se ignora con frecuencia.

Estamos presenciando actualmente en nuestras enseñanzas de matemáticas una fuerte corriente de abstracción que ha eliminado del paisaje muchos rasgos particulares, sustituyéndolos por las suaves y redondeadas formas de las teorías generales.

Algunos libros de uso frecuente en esta materia me recuerdan esos autos de visita turística cuyos conductores están tan obsesionados con el cumplimiento a rajatabla del horario programado que no dan apenas oportunidad a sus pasajeros de disfrutar del recorrido.

A veces es mejor aprender poco pero bien aprendido que mucho y muy vagamente.